Tartalomjegyzék

Skalárpontenciálos vektormezők a fizikában

Érdekes, hogy a fizikában a potenciálfüggvényt negatív előjellel illetik meg, azaz egy $\vec{F}$ vektormezőnek $V$ potenciálfüggvénye, ha $\vec{F} = -\nabla V$.

Gravitációs mező és potenciál

A gravitációs mezőt most a Föld egy aprócska szegletén vizsgáljuk, feltételezhetjük, hogy ott ez egy homogén mágneses mezőként viselkedik: $\vec{G} = (0,0,-g)$, ennek potenciálfüggvénye: $V_G = gz$.

Ekkor egy $m$ tömegű testre ható gravitációs erő: $\vec{F}_m = m \vec{G}$. Továbbá egy $m$ tömegű test potenciális energiája: $E_{pot} = m V_G$.

Elektromos mező

Az elektromos mező egy origóban elhelyezett $Q$ ponttöltés körül: \begin{align} \vec{E} &= k_e \frac{Q}{\|\vec{r}\|^3}\vec{r} = k_e Q \left(x^2 + y^2 + z^2\right)^{-\frac{3}{2}} \vec{r}, \end{align} ahol $\vec{r} = (x,y,z)$. Gyakorlásképpen számoljátok ki, hogy $\vec{E}$ valóban skalárpotenciálos: $\nabla \times \vec{E} = 0$.

Ezen elektromos mező potenciálfüggvénye (bizonyítás nélkül): $V_E = k_e \frac{Q}{\|\vec{r}\|}$. Gyakorlás: ellenőrizzétek, hogy $\vec{E} = -\nabla V_E$.

Ekkor az elektromos tér egy $q$ töltésre ható ereje: $\vec{F}_q = q \vec{E}$ (Coulomb törvénye). Továbbá egy $q$ töltés potenciális energiája ebben az elektromos mezőben: $E_{pot} = q V_E$.

Potenciálfüggvény kiszámításának módja

Visszatérek a Tanárnő által használt jelölésrendszerre!

Legyen $F = (yz,xy,xy)$. A vektormező skalárpotenciálos, mert $\nabla \times F = 0$. Ekkor az $f$ potenciálfüggvény egy $P=(x,y,z)$ pontban a következő vonalintegrállal kiszámítható: \begin{align} f(r_P) = \int_\Gamma F(r) \mathrm{d}\vec{l}, ~ \Gamma = \Big\{ \gamma(t) \in \mathbb{R}^3 ~\big|~ t\in[0,1], ~f(\gamma(0)) = 0 \text{ és } \gamma(1) = r_P \Big\} \end{align} Vagyis integráljuk a vektormezőt egy nulla potenciálú ponttól a P pontig egy tetszőleges úton (mivel potenciálos). Legyen az origóban nulla a potenciál: $f(0) = 0$, ekkor $\gamma(t) = t r_P = (tx, ty,tz)$, ennek $t$ szerinti deriváltja: $\dot{\gamma}(t) = (x,y,z)$. A potenciál függvény tehát így számítható: \begin{align} f(r_P) &= \int_\Gamma F(r) \mathrm{d}\vec{l} = \int_0^1 F(\gamma(t))\dot{\gamma}(t) \mathrm{d}t \\ &= \int_0^1 t^2(yz,xy,xy) \cdot (x,y,z)^T \mathrm{d}t \\ &= xyz \int_0^1 3\cdot t^2 \mathrm{d}t = xyz ~~ t^3 \Big|_{t=0}^1 = xyz \\ \end{align} Valóban $F = \nabla f$.

Ezzel a módszerrel próbáljátok meg kiszámítani a $\vec{G}$ gravitációs mező potenciálját.