Tartalomjegyzék

Script d2018_01_10_LPV_inversion

Teljes Matlab script kiegészítő függvényekkel.

File:   d2018_01_10_LPV_inversion.m
Author: Peter Polcz (ppolcz@gmail.com)

Created on 2018. January 10.

Inherited from

LPV system inversion benchmark problem Code shows how to solve dynamic unknown input inversion for daLPV systems MIMO example is considered in the sequel

Unknown input direction is parameter dependent with control input action. Parameter dependent measurement map.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% last modified by B. Kulcsar 09/01/2018
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clear all; clc; close all;

load Penimesterfigyelmebe2
fnames = fieldnames(sys_LPV);
for i = 1:numel(fnames)
    varname = fnames{i};
    pcz_num2str_multiline(sys_LPV.(varname), ...
        'label', sprintf('sys_%s = ', varname), ...
        'format','%8.4f')
    disp ' '
end

Output:

sys_A1 = [
      1.0000   0.0500   0.0000   0.0000   0.0000   0.0000
      0.0000   0.9828  13.4000   0.4223   0.0000   0.0000
      0.0000  -0.0032   0.4345   0.0000   0.0000   0.0000
    ];
 
sys_B1 = [
      0.0000   0.0000
      0.0000   0.0000
      0.0595   0.0000
    ];
 
sys_C1 = [
      1.0000   0.0000   0.0000   0.0000   0.0000
      0.0000   1.0000   0.0000   0.0000   0.0000
    ];
 
sys_D1 = [
      0.0000   0.0000
      0.0000   0.0000
    ];
 
sys_Ts = [
      0.0500
    ];
 
sys_A = [
      1.0016   0.0335  -0.1540   0.0755   0.0201   0.1662
     -0.0042   0.9117   0.6542  -0.0142  -0.0990  -0.3030
      0.0004  -0.0069  -0.2807  -0.1783   0.2149   0.8768
    ];
 
sys_B = [
     -0.2194   0.1980
     -1.4856  -1.5972
     -0.1421   3.2974
    ];
 
sys_C = [
     -0.9518   0.0948   0.1576   0.0000   0.0000   0.0000
     -0.0394  -0.8749   0.1931   0.0000   0.0000   0.0000
    ];
 
sys_D = [
      0.0329   0.0000
      0.1066   0.0000
    ];

sys_A1 = [
      1.0000   0.0500   0.0000   0.0000   0.0000   0.0000
      0.0000   0.9828  13.4000   0.4223   0.0000   0.0000
      0.0000  -0.0032   0.4345   0.0000   0.0000   0.0000
    ];

sys_B1 = [
      0.0000   0.0000
      0.0000   0.0000
      0.0595   0.0000
    ];

sys_C1 = [
      1.0000   0.0000   0.0000   0.0000   0.0000
      0.0000   1.0000   0.0000   0.0000   0.0000
    ];

sys_D1 = [
      0.0000   0.0000
      0.0000   0.0000
    ];

sys_Ts = 0.05;

sys_A = [
      1.0016   0.0335  -0.1540   0.0755   0.0201   0.1662
     -0.0042   0.9117   0.6542  -0.0142  -0.0990  -0.3030
      0.0004  -0.0069  -0.2807  -0.1783   0.2149   0.8768
    ];

sys_B = [
     -0.2194   0.1980
     -1.4856  -1.5972
     -0.1421   3.2974
    ];

sys_C = [
     -0.9518   0.0948   0.1576   0.0000   0.0000   0.0000
     -0.0394  -0.8749   0.1931   0.0000   0.0000   0.0000
    ];

sys_D = [
      0.0329   0.0000
      0.1066   0.0000
    ];

A={};Ab={};E={};B={};Bd={};C={};

A{1}=sys_A1(:,1:3);
A{2}=sys_A1(:,4:6);
A{:}

Output:

ans =
    1.0000    0.0500         0
         0    0.9828   13.4000
         0   -0.0032    0.4345
ans =
         0         0         0
    0.4223         0         0
         0         0         0

E{1}=sys_B1(:,1)*0;
E{2}=[0 A{2}(2,1) 0]';
E{:}

Output:

B{1}=sys_B1(:,1);
B{2}=sys_B1(:,2);
B{:}

Output:

%Bd{1}=sys_B1(:,1);
%Bd{2}=sys_B1(:,2);
Bd{1}=0.1*[0.1;0;0.1];
Bd{2}=[0;.01;0];
Bd{:}

Output:

C{1}=[1 0 0; 0 1 0];
C{2}=[0 0 0; 0 0 0];
C{:}

Output:

ans =
     1     0     0
     0     1     0
ans =
     0     0     0
     0     0     0

Dd{1}=[.05;0];
Dd{2}=[0;.05];
Dd{:}

Output:

D{1}=[0;0];
D{2}=[0;0];
D{:}

Output:

ans =
     0
     0
ans =
     0
     0

Nagyon sok itt mátrix és nem tudom mi hol van. Ha jól sejtem, akkor a következő az állapottérmodell:

$$ \begin{aligned} \dot x = A(\rho) x + E(\rho) u \\ y = C(\rho) x + D(\rho)u \end{aligned} $$

Ezt hogy értelmezzük?

variáns: $A(\rho) = A_0 + \rho A_1$, $E(\rho) = E_0 + \rho E_1$, $C(\rho) = C_0 + \rho C_1$, $D(\rho) = D_0 + \rho D_1$, lásd [Szabó Zoli, (2.3)].
variáns: $\dot x = A_1 x + B_1 u$ vagy $\dot x = A_2 x + B_2 u$ (lényegében switched rendszer), lásd [Szabó Zoli, (3.1)].

Kiszámítjuk a következő képteret: $Im([E_1 ~ E_2 ]) = Im(E_1) + Im(E_2)$. [OK]

Ec = IMA([E{1} E{2}])

Output:

Computation of V, the maximal (A,B) invariant subspace in ker(C) and R is

Constant kernel matrix of the output map. Kiszámítjuk a két kimeneti mátrix nullterének metszetét. [OK] $Ker(C_1) \cap Ker(C_2)$

KerC = INTS(KER(C{1}),KER(C{2}))

Output:

The controllability subspace in ker(C)

Jól sejtem, hogy most ezt számoljuk: minimal $\mathcal A$-invariant subspace containg $\mathcal B$, vagyis $\mathcal R_{(\mathcal A,\mathcal)}$, ami egyben $(\mathcal A,\mathcal)$ invariáns. Ennek a térnek kell a metszetét venni a $K$ sorvektorai által kiveszített eltérrel? A tézist olvasva ennél bonyolultabb a helyzet.

"The set of all $(\mathcal A,\mathcal)$-invariant subspaces contained in a given subspace $\mathcal K$, is an upper semilattice with respect to subspace addition. This semilattice admits a maximum which will be denoted by $V^*$."

Lényegében $\mathcal R = \left< \mathcal A + B \mathcal F ~\middle|~ Im(BK) \right>$ áltércsalád maximumát számolom? Lásd [Balas et.al. 2003, Eqs. (28-30)]

[R,V]=CSA([A{1} A{2}],Ec,KerC);

%dimensions, number of parameters, dim of V and dim of Bc
np=2;
nv=size(V,2);
nb=size(Ec,2);
ny=size(C{1},1);
n=size(A{1},1);
nu=size(E{1},2);
nf=size(E{1},2);

% Check the strong inveribility condition, the followings has to be empty
INTS(V,Ec);

Transformációs mátrix

State transformation, invariant feedback design

Itt van egy csomó olyan transzformáció, ami ki van kommentelve. Miért is?

% ORTCO([V]);
% T=[IMA(Ec) ORTCO([V Ec]) V];
% T=[ORTCO(V) V];
% T=[ORTCO(V)'; ORTCO(Ec)']
% T=[IMA(Ec) V];
% T=[SUMS(IMA(Ec),ORTCO(V)) V];

Ezt egyáltalán nem értem. Milyen transzformációs mátrix ez?

T=[IMA(Ec) ORTCO(IMA(Ec))]

Output:

T =
     0     1     0
     1     0     0
     0     0     1

A következőt még akár érteném is, mert a (6.4)-re hasonlít, csak fel van cserélve a két állapot helye:

T=[ORTCO(V) V];

Viszont a (9.17)-hez a következő hasonlít a legjobban hasonlít a legjobban:

$$ T = \begin{pmatrix} {V^*}^\perp \\ \Lambda \end{pmatrix}, \text{ ahol } \Lambda \subset \mathcal B^\perp $$

Ugyanakkor egy vektort el kellene hagyni ORTCO(Ec)-ből.

T=[ORTCO(V)'; ORTCO(Ec)']

Transzformáció

%Splitting the system matrices into observable and unobservable parts,
%creating the invariance feedback F
nbb=n-nv;  %not necessary n-nv =nb!
for i=1:np
Ab{i}=inv(T)*A{i}*T;
Tmp = inv(T)*A{i}*T
%Fault direction
% Eb=inv(T)*Ec
% Eb1=inv(T)*E{1};
% Eb2=inv(T)*E{2};
% E1=Eb(1:nbb,:);
% Eb11=Eb1(1:nbb,:);
% Eb12=Eb2(1:nbb,:);
% %Control input direction
% Bb1=inv(T)*B{1};
% Bb2=inv(T)*B{2};
% Bb11=Bb1(1:nbb,:);
% Bb12=Bb2(1:nbb,:);
% Bb21=Bb1(nbb+1:end,:);
% Bb22=Bb2(nbb+1:end,:);
% %Control input direction
% Bdb1=inv(T)*Bd{1};
% Bdb2=inv(T)*Bd{2};
% Bdb11=Bdb1(1:nbb,:);
% Bdb12=Bdb2(1:nbb,:);
% Bdb21=Bdb1(nbb+1:end,:);
% Bdb22=Bdb2(nbb+1:end,:);
%State matrix transformation
A12{i}=Tmp(1:nbb,nbb+1:end);
A22{i}=Tmp(nbb+1:end,nbb+1:end); %This is the LPV zero dynamics
A11{i}=Tmp(1:nbb,1:nbb);
A21{i}=Tmp(nbb+1:end,1:nbb);
%[A11{i} A12{i}; A21{i} A22{i}]==Ab{i};
%F{i}=-E1\A12{i};
end

A11_concat = [ A11{:} ]
A12_concat = [ A12{:} ]
A21_concat = [ A21{:} ]
A22_concat = [ A22{:} ]

A_concat = [ A11{:} A12{:} ; A21{:} A22{:} ]

Output:

Tmp =
    0.9828         0   13.4000
    0.0500    1.0000         0
   -0.0032         0    0.4345
Tmp =
         0    0.4223         0
         0         0         0
         0         0         0
A11_concat =
    0.9828         0         0    0.4223
    0.0500    1.0000         0         0
A12_concat =
   13.4000         0
         0         0
A21_concat =
   -0.0032         0         0         0
A22_concat =
    0.4345         0
A_concat =
    0.9828         0         0    0.4223   13.4000         0
    0.0500    1.0000         0         0         0         0
   -0.0032         0         0         0    0.4345         0

Valóban, a második két egyenletből eltűnik az input hatása, ezt értem:

T*[E{:}]

Output:

ans =
         0    0.4223
         0         0
         0         0

Page rendered in 0.0121 seconds. CodeIgniter Version 3.1.0, current PHP version: 7.0.33-60+0~20220627.68+debian9~1.gbp3d361a

A PHP Error was encountered

Tartalomjegyzék

Script d2018_01_10_LPV_inversion

Inherited from

Output:

Output:

Output:

Output:

Output:

Output:

Output:

Output:

Output:

Computation of V, the maximal (A,B) invariant subspace in ker(C) and R is

Output:

Transformációs mátrix

Output:

Transzformáció

Output:

Output: