gyak2_Laplace

Kezdetiérték feladat megoldása sajátérték felbontással

Lineáris differenciálegyenlet rendszer: $\dot{x} = A x, ~~~ x(0) = x_0$ Megoldás: $x(t) = e^{A t} = S e^{D t} S^{-1}$ , ahol $e^{Dt} = \mathrm{diag}(e^{\lambda_i t})$

syms t real

A = [2 3 ; 2 1];
x0 = [0;1];

[S,D] = eig(A);

% Kezzel kiszámolt:
S1 = [
    3/2   1
    1    -1
    ];

SDS_A_iszero = S * D / S - A
SDS_A_iszero = S1 * D / S1 - A

exp_Dt = diag(exp(diag(D)*t));
fprintf('\nexp(Dt) = \n\n')
pretty(exp_Dt)

exp_At = expand(S * exp_Dt / S);
fprintf('\n[Matlabbal szamolt sajatvektorok] \nexp(At) = \n\n'), pretty(exp_At)

exp_At = expand(S1 * exp_Dt / S1);
fprintf('\n[Kezzel szamolt sajatvektorok eseten] \nexp(At) = \n\n'), pretty(exp_At)

xt = exp_At * x0;
fprintf('\nA differencialegyenlet megoldasa: x(t) = \n\n')
pretty(expand(xt))

SDS_A_iszero =
     0     0
     0     0
SDS_A_iszero =
   1.0e-15 *
         0    0.4441
         0         0

exp(Dt) =

/ exp(4 t),    0    \
|                   |
\     0,    exp(-t) /


[Matlabbal szamolt sajatvektorok]
exp(At) =

/ 2 exp(-t)   exp(4 t) 3  exp(4 t) 3   3 exp(-t) \
| --------- + ----------, ---------- - --------- |
|     5            5           5           5     |
|                                                |
| exp(4 t) 2   2 exp(-t)  3 exp(-t)   exp(4 t) 2 |
| ---------- - ---------, --------- + ---------- |
\      5           5          5            5     /


[Kezzel szamolt sajatvektorok eseten]
exp(At) =

/ 2 exp(-t)   exp(4 t) 3  exp(4 t) 3   3 exp(-t) \
| --------- + ----------, ---------- - --------- |
|     5            5           5           5     |
|                                                |
| exp(4 t) 2   2 exp(-t)  3 exp(-t)   exp(4 t) 2 |
| ---------- - ---------, --------- + ---------- |
\      5           5          5            5     /


A differencialegyenlet megoldasa: x(t) =

/ exp(4 t) 3   3 exp(-t) \
| ---------- - --------- |
|      5           5     |
|                        |
| 3 exp(-t)   exp(4 t) 2 |
| --------- + ---------- |
\     5            5     /