file:   anal3_8het.m
author: Polcz Péter <ppolcz@gmail.com>
Created on 2016.09.30. Friday, 12:57:51

Contents

Thomas - Garrity 6.1.1 Tetel konstruktiv bizonyitasa

Az $n$ dimenzios terben veszek $k$ darab vektort A tetel szerint a $k$ dimenzios paralelogramma terfogata: $V = \sqrt{\mathrm{det}(A^TA)}$

Bizonyitas: letezik olyan $R$ $n\times n$-es transzformacios matrix amelynek segitsegevel a $v_1,...,v_k$ vektorok ugy forgathatok (jeloljuk ezeket $w_i$-kel), hogy a $w_1$ parhuzamos legyen $e_1$-el, a $w_2$ az $(e_1,e_2)$ sikjaban legyen, $w_3$ az $(e_1,e_2,e_3)$ alterben legyen, stb..., vagyis a $w_i$ elforgatott vektor minden koordinata erteke legyen nulla $i+1$-tol $n$-ig.

n = 5;
k = 3;

fprintf('k darab n dimenzios vektor: ')
v = rand(n,k)

HyperVolume1 = sqrt(det(v'*v))

fprintf('Transzformacios matrix (ezt meg ortonormalni kell, \nhogy ne valtoztassa meg a szogeket es a hosszusagokat)\n')
fprintf('A transzformacios matrix elso k eleme a v_1, ..., v_k, \na tobbi n-k elem az utolso n-k db egysegvektor')
T = [ v [ zeros(k,n-k) ; eye(n-k) ] ]

fprintf('Ortonormalt transzformacios matrix (QR decomposition segitsegevel)')
[Q,~] = qr(T)

fprintf('Ugyanaz a k darab n dimenzios vektor, \ncsak egy kicsit elforgatva T = Q^{-1} -el, \nvegyuk eszre, hogy milyen nagyon szepek ezek a vektorok!')
w = Q\v

fprintf('Ellonorizzuk le, hogy az sqrt(det(w''*w)) itt is ugyanazt az eredmenyt adja-e?')
HyperVolume2 = sqrt(det(w'*w))'

fprintf('A kapott w vektorok utolso nemnulla eleimeinek szorzata, \namibol geometriailag jol latszik, hogy ez tenyleg a terfogatot adja:')
HyperVolume3_elojeles = prod(diag(w))

k darab n dimenzios vektor: 
v =

    0.5096    0.5767    0.1500
    0.7070    0.2879    0.9463
    0.7912    0.2669    0.6508
    0.3307    0.8902    0.9822
    0.9137    0.3661    0.1938


HyperVolume1 =

    1.0066

Transzformacios matrix (ezt meg ortonormalni kell, 
hogy ne valtoztassa meg a szogeket es a hosszusagokat)
A transzformacios matrix elso k eleme a v_1, ..., v_k, 
a tobbi n-k elem az utolso n-k db egysegvektor
T =

    0.5096    0.5767    0.1500         0         0
    0.7070    0.2879    0.9463         0         0
    0.7912    0.2669    0.6508         0         0
    0.3307    0.8902    0.9822    1.0000         0
    0.9137    0.3661    0.1938         0    1.0000

Ortonormalt transzformacios matrix (QR decomposition segitsegevel)
Q =

   -0.3339    0.3537    0.5369    0.6802    0.1118
   -0.4632   -0.1468   -0.6051    0.4060   -0.4826
   -0.5184   -0.2332   -0.2286   -0.0820    0.7861
   -0.2166    0.8718   -0.2754   -0.3423    0.0000
   -0.5986   -0.1972    0.4663   -0.4987   -0.3696

Ugyanaz a k darab n dimenzios vektor, 
csak egy kicsit elforgatva T = Q^{-1} -el, 
vegyuk eszre, hogy milyen nagyon szepek ezek a vektorok!
w =

   -1.5263   -0.8763   -1.1546
    0.0000    0.8033    0.5804
    0.0000    0.0000   -0.8210
    0.0000    0.0000    0.0000
    0.0000    0.0000    0.0000

Ellonorizzuk le, hogy az sqrt(det(w'*w)) itt is ugyanazt az eredmenyt adja-e?
HyperVolume2 =

    1.0066

A kapott w vektorok utolso nemnulla eleimeinek szorzata, 
amibol geometriailag jol latszik, hogy ez tenyleg a terfogatot adja:
HyperVolume3_elojeles =

    1.0066


Published with MATLAB® R2015a