\documentclass{article}
\input{ccs_gyak_defs}

\begin{document}
\title{Számítógép-vezérelt szabályozás- és irányításelmélet}
\author{8. gyakorlat \\ \tiny verzió: \today\  \currenttime}
\rfoot{8. gyakorlat}
\date{}

\selectlanguage{magyar}

\maketitle

\section{Mintavételezett állapotegyenlet, diszkrét idejű állapottér modell}


\textbf{Cél}: Az állapottér modell diszkretizálása, hiszen egy számítógép nem folytonos, hanem digitális jelekkel dolgozik. A számítógépvezérelt rendszerekben diszkrét idejű szabályozók vannak. A szabályozók tervezéséhez és implementálásához tehát szükségünk van a modell diszkretizálására.
\\
\textbf{Megjegyzés:} Bonyolult rendszerek esetén általános eljárás, hogy először folytonos időben modellezünk, és tervezzük meg a szabályozót, majd utána diszkretizáljuk az egész rendszert egy megfelelő mintavételi idővel. A mintavételi időhöz a legfontosabb megkötés az, hogy nem ronthatja el a rendszer stabilitását. Persze emellett figyelembe kell venni a szabályozó alatt működő hardver képességeit.
 \subsection{Állapotegyenlet diszkretizálása}
A folytonos idejű állapotegyenlet: $$x(t) = e^{A(t-t_0)}x(t_0) + \int_{t_0}^{t} e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau$$
Helyettesítés: $t=t_{k+1}$ és $t_0=t_k$
$$x(t_{k+1}) = e^{A(t_{k+1}-t_k)}x(t_k) + \int_{t_k}^{t_{k+1}} e^{A(t_{k+1}-\tau)}Bu(\tau)d\tau$$
Legyen $\phi = \tau - t_{k}$, $h = t_{k+1}-t_k$, így $t_{k+1}-\tau = h - \phi$
$$x(k+1) = e^{Ah}x(k) + \int_{0}^{h} e^{A(h-\phi)}Bu(k)d\phi$$
$$x(k+1) = e^{Ah}x(k) + A^{-1}(e^{Ah}-I)Bu(k)$$
 \subsection{Diszkrét idejű állapottér modell (DT-LTI)}
$$x(k+1) = \Phi x(k) + \Gamma u(k)$$
$$y(k) = C x(k) + D u(k)$$
Ahol $\Phi = e^{Ah} = I + Ah + \cdots$ és $\Gamma = A^{-1} (e^{Ah}-I)B = (Ih + \frac{Ah^2}{2!}+\cdots)B$
 \subsubsection{DT-LTI állapotegyenletek megoldása}
$$x(1) = \Phi x(0) + \Gamma u(0)$$
$$x(2) = \Phi x(1) + \Gamma u(1) = \Phi^2 x(0) + \Phi \Gamma u(0) + \Gamma u(1)$$
$$x(3) = \Phi x(2) + \Gamma u(2) = \Phi^3 x(0) + \Phi^2 \Gamma u(0) + \Phi \Gamma u(1) \Gamma u(2)$$
$$\vdots$$
$$x(k) = \Phi x(k-1) + \Gamma u(k-1) = \Phi^k x(0) + \sum_{j=0}^{k-1} \Phi ^{k-j-1} \Gamma u(j)$$


\subsection{Példák}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Példa} \\
Adott a következő CT-LTI állapottér modell.
$$
A=\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 2
\end{bmatrix}
\quad
B=\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix}
\quad
C=\begin{bmatrix}
1 & 0
\end{bmatrix}$$
Diszkretizáljuk $h = ln(2)$ mintavételi idővel! \\
\textbf{MO:}\\
$$(sI-A)^{-1} =
\begin{bmatrix}
s-2 & -1 \\
0 & s-2
\end{bmatrix}^{-1} =
\begin{bmatrix}
\frac{1}{s-2} & \frac{1}{s-2}^2 \\
0 & \frac{1}{s-2}
\end{bmatrix} \rightarrow e^{At} =
\begin{bmatrix}
e^{2t} & te^{2t} \\
0 & e^{2t}
\end{bmatrix}$$
$$\Phi = e^{Ah} =
\begin{bmatrix}
e^{2ln2} & ln2e^{2ln2} \\
0 & e^{2ln2}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
4 & 4ln2 \\
0 & 4
\end{bmatrix}$$
$$\Gamma = A^{-1}(e^{Ah}-I)B = \begin{bmatrix}
1.5 \\
0
\end{bmatrix}$$

\item \textbf{Példa} \\
Adott egy DT-LTI rendszer a következő mátrixokkal:
$$
\Phi=\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
\quad
\Gamma=\begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix}
\quad
C=\begin{bmatrix}
1 & 0
\end{bmatrix}$$
\begin{enumerate}
\item Határozzuk meg a rendszer állapotvektorát az $x(2)$ időpontban $u(k)=1\qquad$ $k=0,1,\cdots$ bemenet esetén!\\ $x(0) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} ^\top$ \\
Kezdeti értékektől való függés:
\begin{eqnarray*}
\Phi^2x(0) = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\1  \end{bmatrix}\\
= \begin{bmatrix}
7 \\
5
\end{bmatrix}
\end{eqnarray*}
A bemeneti jel hatása
\begin{eqnarray*}
\sum_{j=0}^{k-1} \Phi ^{k-j-1} \Gamma u(j) = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix}1 + \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix}1  \\
=
\begin{bmatrix}
4 \\
3
\end{bmatrix}
\end{eqnarray*}
Tehát
\begin{eqnarray*}
x(2) =
\begin{bmatrix}
7 \\
5
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
4 \\
3
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
11 \\
8
\end{bmatrix}
\end{eqnarray*}

\item Határozzuk meg azt a minimális hosszúságú bemeneti jelsorozatot, amely a rendszert az $x(0) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} ^\top$ állapotból az $x(n) = \begin{bmatrix} 13 & 10 \end{bmatrix} ^\top$ állapotba viszi! \\
\textbf{MO:} \\
Ehhez szükségünk van az irányíthatósági mátrix kiszámolásánál használt képletre:
\begin{eqnarray*}
x(n) = \Phi^nx(0)+W_c\mathcal{U}
\end{eqnarray*}
ahol $W_c$ a diszkrét idejű irányíthatósági teszt mátrix. Illetve az $\mathcal{U}$
\begin{eqnarray*}
\mathcal{U} = \begin{bmatrix}
	u(n-1) \\
        u(n-2) \\
	\vdots \\
	u(0)
\end{bmatrix}
\end{eqnarray*}
A képletet átrendezve és $n$ értékét behelyettesítve kapjuk, hogy
\begin{eqnarray*}
W_c^{-1}(x(2) - \Phi^2x(0)) = \mathcal{U}
\end{eqnarray*}
A számítást elvégezve kapjuk, hogy
$$u_0 = 1 \rightarrow x_1 = \begin{bmatrix} 4 & 3 \end{bmatrix} ^\top \, u_1 = 3 \rightarrow x_2 = \begin{bmatrix} 13 & 10 \end{bmatrix} ^\top$$
\item Határozzuk meg a rendszer kezdeti állapotát, ha a bemeneti jelsorozat $u(0)=u(1)=0$, a kimeneten pedig $y(0)=y(1)=-1$ értékeket mértünk. \\
\textbf{MO:}
$$y(1) = x_1(1) = x_1(0) + 2x_2(0) \rightarrow x_2(0) = 0$$
\end{enumerate}

\item \textbf{Példa} \\
Adott egy DT-LTI rendszer a következő mátrixokkal, valamint a bemeneti jelsorozat.
\begin{eqnarray*}
\Phi = \begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
4& 0& 0\\
8& -7& 0\\
\end{bmatrix}
\quad
\Gamma = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
\quad
x(0) = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\quad
u(k)=1, \quad k=0,\ldots,9
\end{eqnarray*}
Adja meg az állapotvektor értéket $x(10)$-ben!
\begin{eqnarray*}
x(10) = \Phi^{10}x(0) + \sum_{j=0}^{9}\Phi^{10-j-1}\Gamma u(j) \\
= \Phi^{10}x(0) + \Phi^9\Gamma u(0)+ \Phi^8\Gamma u(1)+ \ldots + \Phi\Gamma u(8) + \Gamma u(9)
\end{eqnarray*}
Mivel $\Phi$ nilpotens mátrix, ezért a 2-nél magasabb hatványai nullmátrixok. Behelyettesítve az értékeket kapjuk, hogy
\begin{eqnarray}
x(10) = \Gamma u(0) = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
\item \textbf{Példa} \\
Adott a következő differencia egyenlet:
\begin{eqnarray}
y(k+2)-3y(k+1)+12y(k) = -2u(k+1)+5u(k)
\end{eqnarray}
Adja meg a fenti differencia egyenlet impulzusátviteli operátorát, $H(q)$-t!
\begin{eqnarray}
(q^2-3q-12)y(k) &=& (-2q+5)u(k) \\
A(q)y(k) &=& B(q)u(k) \\
H(q) = \frac{B(q)}{A(q)}& =&\frac{-2q+5}{q^2-3q+12}
\end{eqnarray}
Adjon ÁTM-t a fenti impulzus átviteli operátorhoz! \\ Megoldás: Controller Form
\begin{eqnarray*}
\Phi = \begin{bmatrix}
3 & -12 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\quad
\Gamma = \begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix}
\quad
C = \begin{bmatrix}
-2 & 5
\end{bmatrix}
\end{eqnarray*}
\item \textbf{Példa} \\
Adott a következő DT-LTI modell
\begin{eqnarray*}
\Phi = \begin{bmatrix}
-0.25 & -0.3 \\
0 & 0.4
\end{bmatrix}
\quad
\Gamma = \begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix}
C = \begin{bmatrix}
-3 & 0
\end{bmatrix}
\end{eqnarray*}
Adja meg a rendszer impulzusátviteli operátorát, $H(q)$-t!
\begin{eqnarray*}
H(q) &=& C(qI-\Phi)^{-1}\Gamma +D \\
&=& \begin{bmatrix}-3 & 0 \end{bmatrix}\left[\begin{bmatrix}q & 0 \\ 0 & q\end{bmatrix}-
\begin{bmatrix}
-0.25 & -0.3 \\
0 & 0.4
\end{bmatrix}\right]^{-1} \begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix} \\
&=& \frac{1}{(q+0.25)(q-0.4)}\begin{bmatrix}-3 & 0\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
q-0.4& 0.3 \\
0&  q+0.25
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix} \\
&=& \frac{-3}{(q+0.25)}
\end{eqnarray*}
Adja meg a rendszer diszkért idejű impulzusátviteli függvényét, $h(t)$-t a $t=0,1,\ldots,6$ időpontokban!
\begin{eqnarray*}
h(k) = \begin{cases}
0 & \text{ha} \quad k < 1 \\
C\Phi^{k-1}\Gamma & \text{ha} \quad k\leq 1
\end{cases}
\end{eqnarray*}
Behelyetesítve:
\begin{eqnarray*}
h(0) &=& 0 \\
h(1) &=& C\Phi^{0}\Gamma = \begin{bmatrix}-3 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix} = -3 \\
h(2) &=& C\Phi^{1}\Gamma = \begin{bmatrix}-3 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -0.25 & -0.3\\ 0 & 0.4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix} = 0.75 \\
h(3) &=& 0.18 \\
h(4) &=& 0.04 \\
h(5) &=& -0.01 \\
h(6) &=& 0.0029
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}



\section{Diszkrét idejű rendszerek stabilitása}

\textbf{Tétel} Egy DT-LTI rendszer aszimptotikusan stabil pontosan akkor, ha $\lambda_i(\Phi)$ értékek a komplex egységkörön belül vannak.

\textbf{Példa:} Stabil-e az alábbi DT-LTI rendszer?
$$
\Phi=\begin{bmatrix}
0.5 & 0 \\
0 & 2
\end{bmatrix}
\quad
\Gamma=\begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix}
\quad
C=\begin{bmatrix}
1 & 0
\end{bmatrix}$$

\textbf{MO:} Nem stabil, hiszen az egyik sajátérték a komplex egységkörön kívül van.

\section{Diszkrét idejű rendszerek irányíthatósága, elérhetősége és megfigyelhetősége}

Az \textbf{elérhetőségből} mindig következik az irányíthatóság, de fordítva csak akkor igaz, ha $\exists \Phi^{-1}$.
\textbf{Elérhetőség:} Ha $W_c = \begin{bmatrix}\Gamma & \Phi \Gamma & \cdots & \Phi^{n-1} \Gamma\end{bmatrix}$ mátrix teljes rangú.


\textbf{Megfigyelhetőség}: Ha $W_o =
\begin{bmatrix}
C \\
C\Phi  \\
\vdots \\
C\Phi^{n-1}
\end{bmatrix}$
mátrix teljes rangú.

\textbf{Példa} \\
Adott a következő DT-LTI rendszer
\begin{eqnarray*}
\Phi = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}
\quad
\Gamma = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
\end{eqnarray*}
Irányítható-e, illetve elérhető-e ez a rendszer?\\
Írjuk fel az állapotegyenleteket!
\begin{eqnarray*}
x_1(k+1) = x_1(k)+x_2(k) + u(k) \\
x_2(k+1) = 0
\end{eqnarray*}
Az irányíthatósághoz az kell, hogy tetszőleges kezdeti értékből a rendszert az origóba tudjuk vezérelni. Legyen a kezdeti érték például
\begin{eqnarray*}
x(0)  = \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}
\end{eqnarray*}
ahol, $a,b\in\mathcal{R}$ tetszőleges.
Válasszuk a bemeneti jelsorozatot a következőképpen:
\begin{eqnarray*}
u(k) = -(a+b),0,\ldots
\end{eqnarray*}
Ekkor az állapotegyenletek a következők lesznek:
\begin{eqnarray*}
x_1(1) = a+b -a-b \\
x_2(1) = 0
\end{eqnarray*}
Ebből látszik, hogy a rendszer irányítható. \\
Az elérhetőséghez azt kell elérni, hogy a rendszert tetszőleges állapotba elvihessük az állapottérben. Viszont a fenti példán látszik, hogy az $x_2$ állapotváltozó értékét semmilyen bemenettel nem tudjuk megváltoztatni. Ez pedig abból következik, hogy a $\Phi$ mátrix szinguláris.


\textbf{Példa:} Adott a következő DT-LTI rendszer. Irányítható, elérhető illetve megfigyelhető-e?
$$
\Phi=\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
3 & 2
\end{bmatrix}
\quad
\Gamma=\begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix}
\quad
C=\begin{bmatrix}
1 & 0
\end{bmatrix}$$

\textbf{MO:}
Mivel $\Phi$ invertálható, ezért az irányíthatóság megfelel az elérhetőségnek.
$$W_c =
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
1 & 5
\end{bmatrix}$$
Mivel $W_c$ teljes rangú, ezért a rendszer irányítható és elérhető.
$$W_o = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{bmatrix}$$
Mivel $W_o$ teljes rangú, ezért a rendszer megfigyelhető.

\end{document}
